ベイジアンリッジ回帰による曲線フィッティング

はじめに

この実験では、ベイジアンリッジ回帰を使って正弦波データに多項式曲線をフィットさせる方法を示します。ノイズ付きの正弦波データを生成し、3 次多項式を使ってフィットさせ、これらのモデルの対数尤度 (L) を使って真の曲線と予測曲線をプロットします。これにより、どちらがより良いかを判断できます。

VM のヒント

VM の起動が完了したら、左上隅をクリックして ノートブック タブに切り替え、Jupyter Notebook を使って練習します。

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ノイズ付きの正弦波データを生成する

まずは、ノイズ付きの正弦波データを生成します。

import numpy as np

def func(x):
    return np.sin(2 * np.pi * x)

size = 25
rng = np.random.RandomState(1234)
x_train = rng.uniform(0.0, 1.0, size)
y_train = func(x_train) + rng.normal(scale=0.1, size=size)
x_test = np.linspace(0.0, 1.0, 100)

3 次多項式でフィットさせる

データを 3 次多項式を使ってフィットさせます。

from sklearn.linear_model import BayesianRidge

n_order = 3
X_train = np.vander(x_train, n_order + 1, increasing=True)
X_test = np.vander(x_test, n_order + 1, increasing=True)
reg = BayesianRidge(tol=1e-6, fit_intercept=False, compute_score=True)

対数尤度 (L) を用いて真の曲線と予測曲線をプロットする

対数尤度 (L) を用いて真の曲線と予測曲線をプロットします。

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))
for i, ax in enumerate(axes):
    ## Bayesian ridge regression with different initial value pairs
    if i == 0:
        init = [1 / np.var(y_train), 1.0]  ## Default values
    elif i == 1:
        init = [1.0, 1e-3]
        reg.set_params(alpha_init=init[0], lambda_init=init[1])
    reg.fit(X_train, y_train)
    ymean, ystd = reg.predict(X_test, return_std=True)

    ax.plot(x_test, func(x_test), color="blue", label="sin($2\\pi x$)")
    ax.scatter(x_train, y_train, s=50, alpha=0.5, label="observation")
    ax.plot(x_test, ymean, color="red", label="predict mean")
    ax.fill_between(
        x_test, ymean - ystd, ymean + ystd, color="pink", alpha=0.5, label="predict std"
    )
    ax.set_ylim(-1.3, 1.3)
    ax.legend()
    title = "$\\alpha$_init$={:.2f},\\ \\lambda$_init$={}$".format(init[0], init[1])
    if i == 0:
        title += " (Default)"
    ax.set_title(title, fontsize=12)
    text = "$\\alpha={:.1f}$\n$\\lambda={:.3f}$\n$L={:.1f}$".format(
        reg.alpha_, reg.lambda_, reg.scores_[-1]
    )
    ax.text(0.05, -1.0, text, fontsize=12)

plt.tight_layout()
plt.show()

まとめ

ベイジアンリッジ回帰は、多項式曲線にデータをフィットさせるために使用できる強力な曲線フィッティング手法です。正則化パラメータの異なる初期値を反復することで、与えられたデータに最適なフィットを見つけることができます。