はじめに
このチュートリアルでは、scikit-learn を使って分位点回帰を行う方法を示します。非自明な条件付き分位点を予測できるかどうかを示すために、2 つの合成データセットを生成します。中央値と、それぞれ 5％と 95％に固定された低い分位点と高い分位点を推定するために、QuantileRegressorクラスを使用します。QuantileRegressorをLinearRegressionと比较し、平均絶対误差（MAE）と平均二乗误差（MSE）を使ってそれらの性能を评価します。
VM のヒント
VM の起动が完了したら、左上隅をクリックしてノートブックタブに切り替え、Jupyter Notebook を使って练习します。
场合によっては、Jupyter Notebook が読み込み终わるまで数秒待つ必要があります。Jupyter Notebook の制限により、操作の検证は自动化できません。
学习中に问题に直面した场合は、Labby に质问してください。セッション终了后にフィードバックを提供してください。すぐに问题を解决いたします。
データセットの生成
単一の特徴量xとの线形関系を使って、同じ期待値を持つ 2 つの合成データセットを生成します。データセットには、异方分散性のノルマルノイズと非対称パレートノイズを追加します。
import numpy as np
rng = np.random.RandomState(42)
x = np.linspace(start=0, stop=10, num=100)
X = x[:, np.newaxis]
y_true_mean = 10 + 0.5 * x
## 异方分散性のノルマルノイズ
y_normal = y_true_mean + rng.normal(loc=0, scale=0.5 + 0.5 * x, size=x.shape[0])
## 非対称パレートノイズ
a = 5
y_pareto = y_true_mean + 10 * (rng.pareto(a, size=x.shape[0]) - 1 / (a - 1))
データセットの可视化
データセットと、残差y - mean(y)の分布を可视化します。
import matplotlib.pyplot as plt
_, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(15, 11), sharex="row", sharey="row")
axs[0, 0].plot(x, y_true_mean, label="True mean")
axs[0, 0].scatter(x, y_normal, color="black", alpha=0.5, label="Observations")
axs[1, 0].hist(y_true_mean - y_normal, edgecolor="black")
axs[0, 1].plot(x, y_true_mean, label="True mean")
axs[0, 1].scatter(x, y_pareto, color="black", alpha=0.5, label="Observations")
axs[1, 1].hist(y_true_mean - y_pareto, edgecolor="black")
axs[0, 0].set_title("Dataset with heteroscedastic Normal distributed targets")
axs[0, 1].set_title("Dataset with asymmetric Pareto distributed target")
axs[1, 0].set_title(
"Residuals distribution for heteroscedastic Normal distributed targets"
)
axs[1, 1].set_title("Residuals distribution for asymmetric Pareto distributed target")
axs[0, 0].legend()
axs[0, 1].legend()
axs[0, 0].set_ylabel("y")
axs[1, 0].set_ylabel("Counts")
axs[0, 1].set_xlabel("x")
axs[0, 0].set_xlabel("x")
axs[1, 0].set_xlabel("Residuals")
_ = axs[1, 1].set_xlabel("Residuals")
分位点回帰
中央値と、それぞれ 5％と 95％に固定された低い分位点と高い分位点を推定するために、QuantileRegressorクラスを使用します。5％と 95％の分位点を使って、训练サンプルにおける中央 90％の区间を超える外れ値を见つけます。
from sklearn.linear_model import QuantileRegressor
## This is line is to avoid incompatibility if older SciPy version.
## You should use `solver="highs"` with recent version of SciPy.
solver = "highs" if sp_version >= parse_version("1.6.0") else "interior-point"
quantiles = [0.05, 0.5, 0.95]
predictions = {}
out_bounds_predictions = np.zeros_like(y_true_mean, dtype=np.bool_)
for quantile in quantiles:
qr = QuantileRegressor(quantile=quantile, alpha=0, solver=solver)
y_pred = qr.fit(X, y_normal).predict(X)
predictions[quantile] = y_pred
if quantile == min(quantiles):
out_bounds_predictions = np.logical_or(
out_bounds_predictions, y_pred >= y_normal
)
elif quantile == max(quantiles):
out_bounds_predictions = np.logical_or(
out_bounds_predictions, y_pred <= y_normal
)
plt.plot(X, y_true_mean, color="black", linestyle="dashed", label="True mean")
for quantile, y_pred in predictions.items():
plt.plot(X, y_pred, label=f"Quantile: {quantile}")
plt.scatter(
x[out_bounds_predictions],
y_normal[out_bounds_predictions],
color="black",
marker="+",
alpha=0.5,
label="Outside interval",
)
plt.scatter(
x[~out_bounds_predictions],
y_normal[~out_bounds_predictions],
color="black",
alpha=0.5,
label="Inside interval",
)
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
_ = plt.title("Quantiles of heteroscedastic Normal distributed target")
quantiles = [0.05, 0.5, 0.95]
predictions = {}
out_bounds_predictions = np.zeros_like(y_true_mean, dtype=np.bool_)
for quantile in quantiles:
qr = QuantileRegressor(quantile=quantile, alpha=0, solver=solver)
y_pred = qr.fit(X, y_pareto).predict(X)
predictions[quantile] = y_pred
if quantile == min(quantiles):
out_bounds_predictions = np.logical_or(
out_bounds_predictions, y_pred >= y_pareto
)
elif quantile == max(quantiles):
out_bounds_predictions = np.logical_or(
out_bounds_predictions, y_pred <= y_pareto
)
plt.plot(X, y_true_mean, color="black", linestyle="dashed", label="True mean")
for quantile, y_pred in predictions.items():
plt.plot(X, y_pred, label=f"Quantile: {quantile}")
plt.scatter(
x[out_bounds_predictions],
y_pareto[out_bounds_predictions],
color="black",
marker="+",
alpha=0.5,
label="Outside interval",
)
plt.scatter(
x[~out_bounds_predictions],
y_pareto[~out_bounds_predictions],
color="black",
alpha=0.5,
label="Inside interval",
)
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
_ = plt.title("Quantiles of asymmetric Pareto distributed target")
QuantileRegressor と LinearRegression の比较
QuantileRegressor と LinearRegression を比较し、平均绝対误差（MAE）と平均二乗误差（MSE）を使ってそれらの性能を评価します。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_absolute_error
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import cross_validate
linear_regression = LinearRegression()
quantile_regression = QuantileRegressor(quantile=0.5, alpha=0, solver=solver)
y_pred_lr = linear_regression.fit(X, y_pareto).predict(X)
y_pred_qr = quantile_regression.fit(X, y_pareto).predict(X)
print(f"""Training error (in-sample performance)
{linear_regression.__class__.__name__}:
MAE = {mean_absolute_error(y_pareto, y_pred_lr):.3f}
MSE = {mean_squared_error(y_pareto, y_pred_lr):.3f}
{quantile_regression.__class__.__name__}:
MAE = {mean_absolute_error(y_pareto, y_pred_qr):.3f}
MSE = {mean_squared_error(y_pareto, y_pred_qr):.3f}
""")
cv_results_lr = cross_validate(
linear_regression,
X,
y_pareto,
cv=3,
scoring=["neg_mean_absolute_error", "neg_mean_squared_error"],
)
cv_results_qr = cross_validate(
quantile_regression,
X,
y_pareto,
cv=3,
scoring=["neg_mean_absolute_error", "neg_mean_squared_error"],
)
print(f"""Test error (cross-validated performance)
{linear_regression.__class__.__name__}:
MAE = {-cv_results_lr["test_neg_mean_absolute_error"].mean():.3f}
MSE = {-cv_results_lr["test_neg_mean_squared_error"].mean():.3f}
{quantile_regression.__class__.__name__}:
MAE = {-cv_results_qr["test_neg_mean_absolute_error"].mean():.3f}
MSE = {-cv_results_qr["test_neg_mean_squared_error"].mean():.3f}
""")
まとめ
このチュートリアルでは、scikit-learn を使って分位点回帰を行う方法を学びました。分位点回帰がどのように非自明な条件付き分位点を予测できるかを示すために、2 つの合成データセットを生成しました。中央値と、それぞれ 5％と 95％に固定された低い分位点と高い分位点を推定するために、QuantileRegressorクラスを使用しました。QuantileRegressorとLinearRegressionを比较し、平均绝対误差（MAE）と平均二乗误差（MSE）を使ってそれらの性能を评価しました。