欠拟合与过拟合

简介

本实验展示了机器学习中欠拟合和过拟合的问题，以及如何使用多项式特征的线性回归来逼近非线性函数。我们将使用 scikit-learn 来生成数据、拟合模型并评估模型性能。

虚拟机使用提示

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导入库

首先，我们将导入本实验所需的库。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import cross_val_score

生成数据

我们将从余弦函数生成 30 个样本，并在样本中添加一些随机噪声。

def true_fun(X):
    return np.cos(1.5 * np.pi * X)

np.random.seed(0)

n_samples = 30

X = np.sort(np.random.rand(n_samples))
y = true_fun(X) + np.random.randn(n_samples) * 0.1

可视化数据

我们将绘制真实函数和生成的样本。

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(np.linspace(0, 1, 100), true_fun(np.linspace(0, 1, 100)), label="True function")
plt.scatter(X, y, edgecolor="b", s=20, label="Samples")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend(loc="best")
plt.show()

使用多项式特征拟合模型

我们将使用 1 次、4 次和 15 次的多项式特征来拟合模型，并绘制结果。

degrees = [1, 4, 15]

plt.figure(figsize=(14, 5))

for i in range(len(degrees)):
    ax = plt.subplot(1, len(degrees), i + 1)
    plt.setp(ax, xticks=(), yticks=())

    polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=degrees[i], include_bias=False)
    linear_regression = LinearRegression()
    pipeline = Pipeline(
        [
            ("polynomial_features", polynomial_features),
            ("linear_regression", linear_regression),
        ]
    )
    pipeline.fit(X[:, np.newaxis], y)

    X_test = np.linspace(0, 1, 100)
    plt.plot(X_test, pipeline.predict(X_test[:, np.newaxis]), label="Model")
    plt.plot(X_test, true_fun(X_test), label="True function")
    plt.scatter(X, y, edgecolor="b", s=20, label="Samples")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.xlim((0, 1))
    plt.ylim((-2, 2))
    plt.legend(loc="best")
    plt.title("Degree {}".format(degrees[i]))

plt.show()

评估模型性能

我们将使用交叉验证来评估模型，并计算验证集上的均方误差（MSE）。

degrees = [1, 4, 15]

plt.figure(figsize=(14, 5))

for i in range(len(degrees)):
    ax = plt.subplot(1, len(degrees), i + 1)
    plt.setp(ax, xticks=(), yticks=())

    polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=degrees[i], include_bias=False)
    linear_regression = LinearRegression()
    pipeline = Pipeline(
        [
            ("polynomial_features", polynomial_features),
            ("linear_regression", linear_regression),
        ]
    )
    pipeline.fit(X[:, np.newaxis], y)

    ## 使用交叉验证评估模型
    scores = cross_val_score(
        pipeline, X[:, np.newaxis], y, scoring="neg_mean_squared_error", cv=10
    )

    X_test = np.linspace(0, 1, 100)
    plt.plot(X_test, pipeline.predict(X_test[:, np.newaxis]), label="Model")
    plt.plot(X_test, true_fun(X_test), label="True function")
    plt.scatter(X, y, edgecolor="b", s=20, label="Samples")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.xlim((0, 1))
    plt.ylim((-2, 2))
    plt.legend(loc="best")
    plt.title(
        "Degree {}\nMSE = {:.2e}(+/- {:.2e})".format(
            degrees[i], -scores.mean(), scores.std()
        )
    )

plt.show()

总结

本实验展示了如何使用带有多项式特征的线性回归来逼近非线性函数，以及如何使用交叉验证来评估模型性能。我们发现线性函数不足以拟合训练样本，而 4 次多项式几乎能完美地逼近真实函数。然而，对于更高次的多项式，模型会过度拟合训练数据并学习到训练数据中的噪声。我们可以使用交叉验证和均方误差（MSE）来评估模型性能并避免过拟合。