简介
在本实验中，我们将学习如何使用 C 编程语言在特定点近似函数的导数。我们将首先定义一个简单的二次函数，然后使用一个小值 h 通过差分法计算数值导数。最后，我们将打印近似导数。本实验旨在提供对导数近似的实际理解，这是微积分和解析几何中的一个基本概念。
定义函数 f(x)
在这一步中，我们将在 C 编程中定义一个数学函数 f(x)，用于演示导数近似。我们将创建一个简单的二次函数来说明这个概念。
首先，让我们在 ~/project 目录中创建一个新的 C 文件：
cd ~/project
nano derivative_approximation.c现在，让我们编写函数的初始代码：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 定义二次函数 f(x) = x^2 + 2x + 1
double f(double x) {
return x * x + 2 * x + 1;
}
int main() {
double x = 2.0; // 我们将在该点近似导数
printf("函数 f(x) = x^2 + 2x + 1\n");
printf("在 x = %.2f 处求值：f(x) = %.2f\n", x, f(x));
return 0;
}让我们编译并运行代码以验证我们的函数：
gcc derivative_approximation.c -o derivative_approximation -lm
./derivative_approximation示例输出：
函数 f(x) = x^2 + 2x + 1
在 x = 2.00 处求值: f(x) = 9.00代码解释
- 我们定义了一个二次函数
f(x) = x^2 + 2x + 1 - 该函数接受一个
double类型的输入x并返回一个double类型的结果 - 在
main()函数中，我们演示了在 x = 2 处计算函数值 - 我们使用
printf()来显示函数的详细信息及其值
使用一个小的 h 并计算 (f(x+h)-f(x))/h
在这一步中，我们将修改之前的代码，使用差分法来近似导数。我们将引入一个小值 h 来计算数值导数。
让我们更新 derivative_approximation.c 文件：
nano ~/project/derivative_approximation.c用以下代码替换之前的 main() 函数：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 二次函数 f(x) = x^2 + 2x + 1
double f(double x) {
return x * x + 2 * x + 1;
}
// 使用差分法近似导数
double approximate_derivative(double x, double h) {
return (f(x + h) - f(x)) / h;
}
int main() {
double x = 2.0; // 导数近似的点
double h = 0.0001; // 差分法的小值
double approx_derivative = approximate_derivative(x, h);
printf("函数：f(x) = x^2 + 2x + 1\n");
printf("在 x = %.2f 处近似导数\n", x);
printf("步长 h = %.6f\n", h);
printf("近似导数：%.4f\n", approx_derivative);
return 0;
}编译并运行更新后的代码：
gcc derivative_approximation.c -o derivative_approximation -lm
./derivative_approximation示例输出：
函数: f(x) = x^2 + 2x + 1
在 x = 2.00 处近似导数
步长 h = 0.000100
近似导数: 5.0001代码解释
- 我们引入了一个新函数
approximate_derivative()，它使用差分法计算导数 h是一个小值（0.0001），有助于近似瞬时变化率- 公式
(f(x+h) - f(x)) / h在点 x 处近似导数 - 我们打印近似导数的值
打印近似导数
在这一步中，我们将扩展我们的导数近似程序，以便将数值近似与解析导数进行比较，并以更具信息性的方式打印结果。
更新 derivative_approximation.c 文件：
nano ~/project/derivative_approximation.c用以下代码替换之前的代码：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 二次函数 f(x) = x^2 + 2x + 1
double f(double x) {
return x * x + 2 * x + 1;
}
// f(x) 的解析导数
double analytical_derivative(double x) {
return 2 * x + 2;
}
// 使用差分法近似导数
double approximate_derivative(double x, double h) {
return (f(x + h) - f(x)) / h;
}
int main() {
double x = 2.0; // 导数近似的点
double h_values[] = {1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5};
int num_h = sizeof(h_values) / sizeof(h_values[0]);
double true_derivative = analytical_derivative(x);
printf("函数：f(x) = x^2 + 2x + 1\n");
printf("导数点：x = %.2f\n", x);
printf("解析导数：%.4f\n\n", true_derivative);
printf("导数近似结果:\n");
printf("-----------------------------------\n");
printf("步长 (h) 近似导数 误差\n");
printf("-----------------------------------\n");
for (int i = 0; i < num_h; i++) {
double h = h_values[i];
double approx_derivative = approximate_derivative(x, h);
double error = fabs(true_derivative - approx_derivative);
printf("%.1e %.4f %.6f\n",
h, approx_derivative, error);
}
return 0;
}编译并运行更新后的代码：
gcc derivative_approximation.c -o derivative_approximation -lm
./derivative_approximation示例输出：
函数: f(x) = x^2 + 2x + 1
导数点: x = 2.00
解析导数: 6.0000
导数近似结果:
-----------------------------------
步长 (h) 近似导数 误差
-----------------------------------
1.0e-01 6.200000 0.200000
1.0e-02 6.020000 0.020000
1.0e-03 6.002000 0.002000
1.0e-04 6.000200 0.000200
1.0e-05 6.000020 0.000020代码解释
- 添加了
analytical_derivative()函数来计算真实导数 - 创建了一个不同步长
h的数组来演示收敛性 - 使用循环打印不同步长的近似值
- 计算并显示解析导数和数值导数之间的误差
- 展示了较小的
h值如何导致更精确的近似值
总结
在本实验中，我们首先在 C 编程中定义了一个二次函数 f(x) = x^2 + 2x + 1。然后，我们引入了一个小值 h，使用差分法 (f(x+h)-f(x))/h 来近似该函数的导数。最后，我们打印了近似导数的值。
