Reconstrução de Imagem por Sensoriamento Compressivo

Introdução

Este laboratório demonstra a reconstrução de uma imagem esparsa a partir de um conjunto de projeções paralelas utilizando a sensoriamento comprimido. O sensoriamento comprimido é uma técnica para aquisição e reconstrução eficiente de sinais esparsos em algum domínio. Neste caso, estamos interessados em reconstruir uma imagem 2D a partir de um pequeno número de projeções adquiridas em diferentes ângulos. Vamos comparar o desempenho dos métodos de penalização L1 e L2 para esta tarefa.

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Importar Bibliotecas

Neste passo, iremos importar as bibliotecas necessárias.

import numpy as np
from scipy import sparse
from scipy import ndimage
from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.linear_model import Ridge
import matplotlib.pyplot as plt

Definir Funções Auxiliares

Neste passo, definiremos funções auxiliares para gerar a matriz de projeto de tomografia e criar dados sintéticos binários.

def _weights(x, dx=1, orig=0):
    x = np.ravel(x)
    floor_x = np.floor((x - orig) / dx).astype(np.int64)
    alpha = (x - orig - floor_x * dx) / dx
    return np.hstack((floor_x, floor_x + 1)), np.hstack((1 - alpha, alpha))

def _generate_center_coordinates(l_x):
    X, Y = np.mgrid[:l_x, :l_x].astype(np.float64)
    center = l_x / 2.0
    X += 0.5 - center
    Y += 0.5 - center
    return X, Y

def build_projection_operator(l_x, n_dir):
    X, Y = _generate_center_coordinates(l_x)
    angles = np.linspace(0, np.pi, n_dir, endpoint=False)
    data_inds, weights, camera_inds = [], [], []
    data_unravel_indices = np.arange(l_x**2)
    data_unravel_indices = np.hstack((data_unravel_indices, data_unravel_indices))
    for i, angle in enumerate(angles):
        Xrot = np.cos(angle) * X - np.sin(angle) * Y
        inds, w = _weights(Xrot, dx=1, orig=X.min())
        mask = np.logical_and(inds >= 0, inds < l_x)
        weights += list(w[mask])
        camera_inds += list(inds[mask] + i * l_x)
        data_inds += list(data_unravel_indices[mask])
    proj_operator = sparse.coo_matrix((weights, (camera_inds, data_inds)))
    return proj_operator

def generate_synthetic_data():
    rs = np.random.RandomState(0)
    n_pts = 36
    x, y = np.ogrid[0:l, 0:l]
    mask_outer = (x - l / 2.0) ** 2 + (y - l / 2.0) ** 2 < (l / 2.0) ** 2
    mask = np.zeros((l, l))
    points = l * rs.rand(2, n_pts)
    mask[(points[0]).astype(int), (points[1]).astype(int)] = 1
    mask = ndimage.gaussian_filter(mask, sigma=l / n_pts)
    res = np.logical_and(mask > mask.mean(), mask_outer)
    return np.logical_xor(res, ndimage.binary_erosion(res))

Gerar Dados

Neste passo, geraremos dados binários sintéticos e suas projeções.

l = 128
proj_operator = build_projection_operator(l, l // 7)
data = generate_synthetic_data()
proj = proj_operator @ data.ravel()[:, np.newaxis]
proj += 0.15 * np.random.randn(*proj.shape)

Reconstruir Imagem com Penalização L2

Neste passo, reconstruiremos a imagem utilizando penalização L2 (Ridge).

rgr_ridge = Ridge(alpha=0.2)
rgr_ridge.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l2 = rgr_ridge.coef_.reshape(l, l)

Reconstruir Imagem com Penalização L1

Neste passo, reconstruiremos a imagem utilizando penalização L1 (Lasso).

rgr_lasso = Lasso(alpha=0.001)
rgr_lasso.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l1 = rgr_lasso.coef_.reshape(l, l)

Visualizar Resultados

Neste passo, visualizaremos a imagem original e as imagens reconstruídas utilizando penalizações L2 e L1.

plt.figure(figsize=(8, 3.3))
plt.subplot(131)
plt.imshow(data, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.axis("off")
plt.title("Imagem Original")
plt.subplot(132)
plt.imshow(rec_l2, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.title("Penalização L2")
plt.axis("off")
plt.subplot(133)
plt.imshow(rec_l1, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.title("Penalização L1")
plt.axis("off")

plt.subplots_adjust(hspace=0.01, wspace=0.01, top=1, bottom=0, left=0, right=1)

plt.show()

Resumo

Neste laboratório, demonstramos o uso da sensoriamento comprimido para reconstruir uma imagem 2D a partir de um pequeno número de projeções adquiridas em diferentes ângulos. Comparámos o desempenho dos métodos de penalização L1 e L2 e observámos que a penalização L1 produz um melhor resultado com menos artefactos.