简介
在本实验中，你将学习如何在 C 语言中评估导数的有限差分近似值。本实验涵盖以下步骤：
- 定义一个数学函数
f(x)并设置有限差分近似的步长h。 - 在给定的评估点
x处计算f(x)导数的前向和后向有限差分近似值。 - 打印计算出的近似值，并将它们与真实导数进行比较。
完成本实验后，你将对如何在 C 语言中实现有限差分方法以及评估近似值的准确性有扎实的理解。
定义 f(x) 和步长 h
在这一步中，你将学习如何在 C 语言中定义一个数学函数并设置有限差分近似的步长。
首先，为你的有限差分近似程序创建一个新的 C 文件：
cd ~/project
nano finite_difference.c现在，添加以下代码来定义函数和步长：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 定义函数 f(x)
double f(double x) {
return x * x; // 示例函数：f(x) = x^2
}
int main() {
// 定义步长 h
double h = 0.0001; // 用于精确近似的小步长
// 计算导数的点
double x = 2.0;
printf("函数：f(x) = x^2\n");
printf("步长 h：%f\n", h);
printf("计算点 x：%f\n", x);
return 0;
}示例输出：
函数：f(x) = x^2
步长 h：0.000100
计算点 x：2.000000让我们来剖析一下关键部分：
-
f(x)函数：我们定义了一个简单的二次函数 f(x) = x^2。你可以修改这个函数来表示任何你想要近似的数学函数。 -
步长
h：这是在有限差分近似中使用的一个小值。较小的h通常会提供更精确的结果，但极小的值可能会导致数值精度问题。 -
计算点
x：这是我们将计算导数近似值的点。
编译程序以确保它能正常运行：
gcc -o finite_difference finite_difference.c -lm
./finite_difference示例输出：
函数：f(x) = x^2
步长 h：0.000100
计算点 x：2.000000计算前向/后向差分
在这一步中，你将学习如何计算导数的前向和后向有限差分近似值。
打开上一个文件并修改代码以包含导数近似方法：
cd ~/project
nano finite_difference.c用前向和后向差分计算更新代码：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 定义函数 f(x)
double f(double x) {
return x * x; // 示例函数：f(x) = x^2
}
int main() {
// 定义步长 h
double h = 0.0001; // 用于精确近似的小步长
// 计算导数的点
double x = 2.0;
// 前向差分近似
double forward_diff = (f(x + h) - f(x)) / h;
// 后向差分近似
double backward_diff = (f(x) - f(x - h)) / h;
printf("前向差分近似：%f\n", forward_diff);
printf("后向差分近似：%f\n", backward_diff);
return 0;
}编译并运行程序：
gcc -o finite_difference finite_difference.c -lm
./finite_difference示例输出：
前向差分近似：4.000100
后向差分近似：3.999900让我们来剖析一下有限差分近似：
-
前向差分：使用 x 之后的点计算导数
- 公式：(f(x + h) - f(x)) / h
- 近似向前的变化率
-
后向差分：使用 x 之前的点计算导数
- 公式：(f(x) - f(x - h)) / h
- 近似向后的变化率
请注意，对于函数 f(x) = x^2，其真实导数为 2x（在 x = 2 时为 4）。这些近似值非常接近实际导数的值。
读完马上上手，才是真的掌握。
打印近似值
在这一步中，你将改进程序以打印详细的近似结果，并将它们与实际导数进行比较。
打开上一个文件并修改代码以包含全面的输出：
cd ~/project
nano finite_difference.c用详细的近似值打印更新代码：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 定义函数 f(x)
double f(double x) {
return x * x; // 示例函数：f(x) = x^2
}
// 实际导数函数
double actual_derivative(double x) {
return 2 * x; // x^2 的导数是 2x
}
int main() {
// 定义多个步长用于比较
double step_sizes[] = {0.1, 0.01, 0.001, 0.0001};
int num_steps = sizeof(step_sizes) / sizeof(step_sizes[0]);
// 计算导数的点
double x = 2.0;
// 实际导数的值
double true_derivative = actual_derivative(x);
printf("导数近似分析\n");
printf("--------------------------------\n");
printf("函数：f(x) = x^2\n");
printf("计算点：x = %f\n", x);
printf("实际导数：%f\n\n", true_derivative);
printf("步长 | 前向差分 | 后向差分 | 前向误差 | 后向误差\n");
printf("-----------------------------------------------------------------------\n");
// 计算并打印不同步长的近似值
for (int i = 0; i < num_steps; i++) {
double h = step_sizes[i];
// 前向差分近似
double forward_diff = (f(x + h) - f(x)) / h;
// 后向差分近似
double backward_diff = (f(x) - f(x - h)) / h;
// 计算绝对误差
double forward_error = fabs(forward_diff - true_derivative);
double backward_error = fabs(backward_diff - true_derivative);
printf("%9f | %11f | %12f | %11f | %12f\n",
h, forward_diff, backward_diff, forward_error, backward_error);
}
return 0;
}编译并运行程序：
gcc -o finite_difference finite_difference.c -lm
./finite_difference示例输出：
导数近似分析
--------------------------------
函数：f(x) = x^2
计算点：x = 2.000000
实际导数：4.000000
步长 | 前向差分 | 后向差分 | 前向误差 | 后向误差
-----------------------------------------------------------------------
0.100000 | 4.100000 | 3.900000 | 0.100000 | 0.100000
0.010000 | 4.010000 | 3.990000 | 0.010000 | 0.010000
0.001000 | 4.001000 | 3.999000 | 0.001000 | 0.001000
0.000100 | 4.000100 | 3.999900 | 0.000100 | 0.000100关键观察结果：
- 随着步长
h减小，近似值变得更准确 - 前向和后向差分收敛到实际导数
- 误差随着步长变小而减小
总结
在本实验中，你学习了如何在 C 语言中定义一个数学函数并设置有限差分近似的步长。你还学习了如何计算导数的前向和后向有限差分近似值。涵盖的关键步骤包括定义函数 f(x) 和步长 h，以及实现前向和后向差分方法来在给定的评估点 x 处近似导数。这为理解和在数值分析与科学计算中实现有限差分技术奠定了基础。
