Построение графика аттрактора Лоренца

Введение

В этом практическом занятии (лабораторной работе) представлен пошаговый учебник по построению трехмерного графика "Детерминированного непериодического потока" Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) 1963 года с использованием модуля mplot3d. Мы будем использовать Python и библиотеку Matplotlib, которая предназначена для построения графиков в языке программирования Python.

Советы по виртуальной машине (VM)

После запуска виртуальной машины нажмите в левом верхнем углу, чтобы переключиться на вкладку Notebook и получить доступ к Jupyter Notebook для практики.

Иногда вам может потребоваться подождать несколько секунд, пока Jupyter Notebook загрузится. Валидация операций не может быть автоматизирована из-за ограничений Jupyter Notebook.

Если у вас возникнут проблемы во время обучения, не стесняйтесь обращаться к Labby. Оставьте отзыв после занятия, и мы оперативно решим проблему для вас.

Импорт библиотек

Мы начинаем с импорта необходимых библиотек: Matplotlib и NumPy.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

Определение функции Лоренца

Мы определяем функцию Лоренца, которая принимает три параметра и возвращает массив из трех значений. Мы используем значения по умолчанию s = 10, r = 28 и b = 2.667 для параметров системы Лоренца.

def lorenz(xyz, *, s=10, r=28, b=2.667):
    """
    Параметры
    ----------
    xyz : array-like, shape (3,)
       Точка в трехмерном пространстве, которая представляет интерес.
    s, r, b : float
       Параметры, определяющие аттрактор Лоренца.

    Возвращает
    -------
    xyz_dot : array, shape (3,)
       Значения частных производных аттрактора Лоренца в точке *xyz*.
    """
    x, y, z = xyz
    x_dot = s*(y - x)
    y_dot = r*x - y - x*z
    z_dot = x*y - b*z
    return np.array([x_dot, y_dot, z_dot])

Настройка начальных параметров

Мы настраиваем начальные параметры для симуляции, включая шаг по времени dt, количество шагов num_steps и начальные значения для x, y и z.

dt = 0.01
num_steps = 10000

xyzs = np.empty((num_steps + 1, 3))  ## Нужно на один больше для начальных значений
xyzs[0] = (0., 1., 1.05)  ## Установка начальных значений

Вычисление аттрактора Лоренца

Мы вычисляем аттрактор Лоренца, продвигаясь по времени и оценивая следующую точку с использованием предыдущей точки и функции Лоренца.

for i in range(num_steps):
    xyzs[i + 1] = xyzs[i] + lorenz(xyzs[i]) * dt

Мы строим график аттрактора Лоренца с использованием модуля mplot3d библиотеки Matplotlib.

ax = plt.figure().add_subplot(projection='3d')

ax.plot(*xyzs.T, lw=0.5)
ax.set_xlabel("Ось X")
ax.set_ylabel("Ось Y")
ax.set_zlabel("Ось Z")
ax.set_title("Аттрактор Лоренца")

plt.show()

Резюме

В этом руководстве мы научились строить график аттрактора Лоренца с использованием Python и Matplotlib. Мы определили функцию Лоренца, настроили начальные параметры, вычислили аттрактор Лоренца и построили его график с помощью модуля mplot3d библиотеки Matplotlib.

Построение трехмерного графика аттрактора Лоренца с использованием Python