Análise de Componentes Independentes com FastICA e PCA

Introdução

Este laboratório demonstra o uso dos algoritmos FastICA e PCA, duas técnicas populares de análise de componentes independentes. A Análise de Componentes Independentes (ICA) é um método para separar sinais multivariados em subcomponentes aditivos que são maximamente independentes. Esta técnica encontra direções no espaço de características correspondentes a projeções com alta não-gaussianidade.

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Gerar Dados de Amostra

Neste passo, geramos dados de amostra utilizando um processo altamente não-gaussiano, 2 distribuições t de Student com um baixo número de graus de liberdade.

import numpy as np

from sklearn.decomposition import PCA, FastICA

rng = np.random.RandomState(42)
S = rng.standard_t(1.5, size=(20000, 2))
S[:, 0] *= 2.0

## Misturar dados
A = np.array([[1, 1], [0, 2]])  ## Matriz de mistura

X = np.dot(S, A.T)  ## Gerar observações

Utilizar o Algoritmo PCA

Neste passo, utilizamos o algoritmo PCA para encontrar direções ortogonais no espaço de características bruto que correspondem a direções que explicam a máxima variância.

pca = PCA()
S_pca_ = pca.fit(X).transform(X)

Utilizar o Algoritmo FastICA

Neste passo, utilizamos o algoritmo FastICA, que encontra direções no espaço de características correspondentes a projeções com alta não-gaussianidade.

ica = FastICA(random_state=rng, whiten="arbitrary-variance")
S_ica_ = ica.fit(X).transform(X)  ## Estimar as fontes

S_ica_ /= S_ica_.std(axis=0)

Plotar Resultados

Neste passo, plotamos os resultados utilizando matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_samples(S, axis_list=None):
    plt.scatter(
        S[:, 0], S[:, 1], s=2, marker="o", zorder=10, color="steelblue", alpha=0.5
    )
    if axis_list is not None:
        for axis, color, label in axis_list:
            axis /= axis.std()
            x_axis, y_axis = axis
            plt.quiver(
                (0, 0),
                (0, 0),
                x_axis,
                y_axis,
                zorder=11,
                width=0.01,
                scale=6,
                color=color,
                label=label,
            )

    plt.hlines(0, -3, 3)
    plt.vlines(0, -3, 3)
    plt.xlim(-3, 3)
    plt.ylim(-3, 3)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")


plt.figure()
plt.subplot(2, 2, 1)
plot_samples(S / S.std())
plt.title("Fontes Independentes Verdadeiras")

axis_list = [(pca.components_.T, "orange", "PCA"), (ica.mixing_, "red", "ICA")]
plt.subplot(2, 2, 2)
plot_samples(X / np.std(X), axis_list=axis_list)
legend = plt.legend(loc="lower right")
legend.set_zorder(100)

plt.title("Observações")

plt.subplot(2, 2, 3)
plot_samples(S_pca_ / np.std(S_pca_, axis=0))
plt.title("Sinais recuperados por PCA")

plt.subplot(2, 2, 4)
plot_samples(S_ica_ / np.std(S_ica_))
plt.title("Sinais recuperados por ICA")

plt.subplots_adjust(0.09, 0.04, 0.94, 0.94, 0.26, 0.36)
plt.show()

Resumo

Neste laboratório, aprendemos como utilizar os algoritmos FastICA e PCA em Python para realizar análise de componentes independentes e como visualizar os resultados usando matplotlib.