Algoritmos de Classificação por Análise Discriminante

Introdução

Neste laboratório, aprenderemos sobre Análise Discriminante Linear e Quadrática (LDA e QDA). LDA e QDA são algoritmos de classificação usados para encontrar um limite de decisão linear e quadrático, respectivamente, entre duas ou mais classes. Usaremos a biblioteca scikit-learn para implementar estes algoritmos e visualizar os limites de decisão.

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Importar Bibliotecas e Gerar Conjuntos de Dados

Primeiro, importamos as bibliotecas necessárias e geramos dois conjuntos de dados: um com covariância fixa e outro com covariâncias variáveis.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import linalg
from matplotlib import colors
import matplotlib as mpl
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis

## gerar conjunto de dados com covariância fixa
def dataset_fixed_cov():
    n, dim = 300, 2
    np.random.seed(0)
    C = np.array([[0.0, -0.23], [0.83, 0.23]])
    X = np.r_[np.dot(np.random.randn(n, dim), C), np.dot(np.random.randn(n, dim), C) + np.array([1, 1])]
    y = np.hstack((np.zeros(n), np.ones(n)))
    return X, y

## gerar conjunto de dados com covariâncias variáveis
def dataset_cov():
    n, dim = 300, 2
    np.random.seed(0)
    C = np.array([[0.0, -1.0], [2.5, 0.7]]) * 2.0
    X = np.r_[np.dot(np.random.randn(n, dim), C), np.dot(np.random.randn(n, dim), C.T) + np.array([1, 4])]
    y = np.hstack((np.zeros(n), np.ones(n)))
    return X, y

Criar Mapa de Cores

Criaremos um mapa de cores personalizado para usar nas nossas visualizações.

cmap = colors.LinearSegmentedColormap(
    "red_blue_classes",
    {
        "red": [(0, 1, 1), (1, 0.7, 0.7)],
        "green": [(0, 0.7, 0.7), (1, 0.7, 0.7)],
        "blue": [(0, 0.7, 0.7), (1, 1, 1)],
    },
)
plt.cm.register_cmap(cmap=cmap)

Funções de Plotagem

Definiremos duas funções para plotar os dados e as elipses.

def plot_data(lda, X, y, y_pred, fig_index):
    splot = plt.subplot(2, 2, fig_index)
    if fig_index == 1:
        plt.title("Análise Discriminante Linear")
        plt.ylabel("Dados com\n covariância fixa")
    elif fig_index == 2:
        plt.title("Análise Discriminante Quadrática")
    elif fig_index == 3:
        plt.ylabel("Dados com\n covariâncias variáveis")

    tp = y == y_pred  ## Positivo Verdadeiro
    tp0, tp1 = tp[y == 0], tp[y == 1]
    X0, X1 = X[y == 0], X[y == 1]
    X0_tp, X0_fp = X0[tp0], X0[~tp0]
    X1_tp, X1_fp = X1[tp1], X1[~tp1]

    ## classe 0: pontos
    plt.scatter(X0_tp[:, 0], X0_tp[:, 1], marker=".", color="red")
    plt.scatter(X0_fp[:, 0], X0_fp[:, 1], marker="x", s=20, color="#990000")  ## vermelho escuro

    ## classe 1: pontos
    plt.scatter(X1_tp[:, 0], X1_tp[:, 1], marker=".", color="blue")
    plt.scatter(X1_fp[:, 0], X1_fp[:, 1], marker="x", s=20, color="#000099")  ## azul escuro

    ## classe 0 e 1: áreas
    nx, ny = 200, 100
    x_min, x_max = plt.xlim()
    y_min, y_max = plt.ylim()
    xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, nx), np.linspace(y_min, y_max, ny))
    Z = lda.predict_proba(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z[:, 1].reshape(xx.shape)
    plt.pcolormesh(xx, yy, Z, cmap="red_blue_classes", norm=colors.Normalize(0.0, 1.0), zorder=0)
    plt.contour(xx, yy, Z, [0.5], linewidths=2.0, colors="white")

    ## médias
    plt.plot(lda.means_[0][0], lda.means_[0][1], "*", color="yellow", markersize=15, markeredgecolor="grey")
    plt.plot(lda.means_[1][0], lda.means_[1][1], "*", color="yellow", markersize=15, markeredgecolor="grey")

    return splot


def plot_ellipse(splot, mean, cov, color):
    v, w = linalg.eigh(cov)
    u = w[0] / linalg.norm(w[0])
    angle = np.arctan(u[1] / u[0])
    angle = 180 * angle / np.pi  ## converter para graus
    ## gaussiana preenchida a 2 desvios padrão
    ell = mpl.patches.Ellipse(mean, 2 * v[0] ** 0.5, 2 * v[1] ** 0.5, angle=180 + angle, facecolor=color, edgecolor="black", linewidth=2)
    ell.set_clip_box(splot.bbox)
    ell.set_alpha(0.2)
    splot.add_artist(ell)
    splot.set_xticks(())
    splot.set_yticks(())

Plotar Elipses de Covariância LDA

Plotaremos as elipses de covariância para LDA.

def plot_lda_cov(lda, splot):
    plot_ellipse(splot, lda.means_[0], lda.covariance_, "red")
    plot_ellipse(splot, lda.means_[1], lda.covariance_, "blue")

Plotar Elipses de Covariância QDA

Plotaremos as elipses de covariância para QDA.

def plot_qda_cov(qda, splot):
    plot_ellipse(splot, qda.means_[0], qda.covariance_[0], "red")
    plot_ellipse(splot, qda.means_[1], qda.covariance_[1], "blue")

Visualizar as Fronteiras de Decisão

Usaremos os conjuntos de dados gerados na Etapa 1 para visualizar as fronteiras de decisão para LDA e QDA.

plt.figure(figsize=(10, 8), facecolor="white")
plt.suptitle("Análise Discriminante Linear vs Análise Discriminante Quadrática", y=0.98, fontsize=15)

for i, (X, y) in enumerate([dataset_fixed_cov(), dataset_cov()]):
    ## Análise Discriminante Linear
    lda = LinearDiscriminantAnalysis(solver="svd", store_covariance=True)
    y_pred = lda.fit(X, y).predict(X)
    splot = plot_data(lda, X, y, y_pred, fig_index=2 * i + 1)
    plot_lda_cov(lda, splot)
    plt.axis("tight")

    ## Análise Discriminante Quadrática
    qda = QuadraticDiscriminantAnalysis(store_covariance=True)
    y_pred = qda.fit(X, y).predict(X)
    splot = plot_data(qda, X, y, y_pred, fig_index=2 * i + 2)
    plot_qda_cov(qda, splot)
    plt.axis("tight")

plt.tight_layout()
plt.subplots_adjust(top=0.92)
plt.show()

Resumo

Neste laboratório, aprendemos sobre a Análise Discriminante Linear e Quadrática (LDA e QDA). Geramos dois conjuntos de dados e utilizamos LDA e QDA para encontrar as fronteiras de decisão linear e quadrática, respectivamente. Visualizamos as fronteiras de decisão e as elipses de covariância para cada algoritmo.