收缩协方差估计

简介

本实验展示了如何使用诸如收缩法等正则化技术来执行协方差估计，以减少估计量的方差，以及如何选择偏差 - 方差权衡。我们将比较设置正则化参数的三种方法。

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Skills Graph

生成样本数据

我们生成具有40个特征和20个样本的样本数据。我们使用 np.random.normal() 函数来创建正态分布。

import numpy as np

n_features, n_samples = 40, 20
np.random.seed(42)
base_X_train = np.random.normal(size=(n_samples, n_features))
base_X_test = np.random.normal(size=(n_samples, n_features))

coloring_matrix = np.random.normal(size=(n_features, n_features))
X_train = np.dot(base_X_train, coloring_matrix)
X_test = np.dot(base_X_test, coloring_matrix)

计算测试数据上的似然度

我们使用 sklearn.covariance 模块中的 ShrunkCovariance 类和 scipy.linalg 模块中的 log_likelihood 函数来计算测试数据上的负对数似然度。我们遍历一系列可能的收缩系数值，并计算每个值的似然度。

from sklearn.covariance import ShrunkCovariance, empirical_covariance, log_likelihood
from scipy import linalg

shrinkages = np.logspace(-2, 0, 30)
negative_logliks = [
    -ShrunkCovariance(shrinkage=s).fit(X_train).score(X_test) for s in shrinkages
]

real_cov = np.dot(coloring_matrix.T, coloring_matrix)
emp_cov = empirical_covariance(X_train)
loglik_real = -log_likelihood(emp_cov, linalg.inv(real_cov))

比较设置正则化参数的不同方法

我们比较设置正则化参数的三种方法：交叉验证、Ledoit-Wolf 和 OAS。

from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.covariance import LedoitWolf, OAS

tuned_parameters = [{"shrinkage": shrinkages}]
cv = GridSearchCV(ShrunkCovariance(), tuned_parameters)
cv.fit(X_train)

lw = LedoitWolf()
loglik_lw = lw.fit(X_train).score(X_test)

oa = OAS()
loglik_oa = oa.fit(X_train).score(X_test)

绘制结果

我们绘制不同收缩参数值下未见过数据的似然度，并展示通过交叉验证、LedoitWolf 和 OAS 估计得到的选择。

import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
plt.title("Regularized covariance: likelihood and shrinkage coefficient")
plt.xlabel("Regularization parameter: shrinkage coefficient")
plt.ylabel("Error: negative log-likelihood on test data")

plt.loglog(shrinkages, negative_logliks, label="Negative log-likelihood")

plt.plot(plt.xlim(), 2 * [loglik_real], "--r", label="Real covariance likelihood")

lik_max = np.amax(negative_logliks)
lik_min = np.amin(negative_logliks)
ymin = lik_min - 6.0 * np.log((plt.ylim()[1] - plt.ylim()[0]))
ymax = lik_max + 10.0 * np.log(lik_max - lik_min)
xmin = shrinkages[0]
xmax = shrinkages[-1]

plt.vlines(
    lw.shrinkage_,
    ymin,
    -loglik_lw,
    color="magenta",
    linewidth=3,
    label="Ledoit-Wolf estimate",
)

plt.vlines(
    oa.shrinkage_, ymin, -loglik_oa, color="purple", linewidth=3, label="OAS estimate"
)

plt.vlines(
    cv.best_estimator_.shrinkage,
    ymin,
    -cv.best_estimator_.score(X_test),
    color="cyan",
    linewidth=3,
    label="Cross-validation best estimate",
)

plt.ylim(ymin, ymax)
plt.xlim(xmin, xmax)
plt.legend()

plt.show()

总结

在本实验中，我们学习了如何使用诸如收缩方法等正则化技术来进行协方差估计。我们比较了设置正则化参数的三种方法：交叉验证、Ledoit-Wolf 和 OAS。我们绘制了不同收缩参数值下未见过数据的似然度，并展示了通过交叉验证、LedoitWolf 和 OAS 估计得到的选择。