比较线性贝叶斯回归器

简介

本实验使用一个合成数据集来比较两种不同的贝叶斯回归器：自动相关性确定（Automatic Relevance Determination，ARD）和贝叶斯岭回归（Bayesian Ridge Regression）。实验的第一部分通过使用普通最小二乘法（OLS）模型作为基线，将模型的系数与真实系数进行比较。在最后一部分，实验使用多项式特征扩展来拟合 X 和 y 之间的非线性关系，绘制 ARD 和贝叶斯岭回归的预测值和不确定性。

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Skills Graph

生成合成数据集

我们生成一个合成数据集，其中 X 和 y 呈线性关联。X 的十个特征将用于生成 y。其他特征对预测 y 没有帮助。此外，我们生成一个 n_samples == n_features 的数据集。这样的设置对 OLS 模型来说具有挑战性，可能会导致权重任意大。对权重施加先验和惩罚可以缓解这个问题。最后，添加高斯噪声。

from sklearn.datasets import make_regression

X, y, true_weights = make_regression(
    n_samples=100,
    n_features=100,
    n_informative=10,
    noise=8,
    coef=True,
    random_state=42,
)

拟合回归器

我们对两个贝叶斯模型和 OLS 进行拟合，以便稍后比较模型的系数。

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import ARDRegression, LinearRegression, BayesianRidge

olr = LinearRegression().fit(X, y)
brr = BayesianRidge(compute_score=True, n_iter=30).fit(X, y)
ard = ARDRegression(compute_score=True, n_iter=30).fit(X, y)
df = pd.DataFrame(
    {
        "Weights of true generative process": true_weights,
        "ARDRegression": ard.coef_,
        "BayesianRidge": brr.coef_,
        "LinearRegression": olr.coef_,
    }
)

绘制真实系数与估计系数

我们将每个模型的系数与真实生成模型的权重进行比较。

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from matplotlib.colors import SymLogNorm

plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = sns.heatmap(
    df.T,
    norm=SymLogNorm(linthresh=10e-4, vmin=-80, vmax=80),
    cbar_kws={"label": "coefficients' values"},
    cmap="seismic_r",
)
plt.ylabel("linear model")
plt.xlabel("coefficients")
plt.tight_layout(rect=(0, 0, 1, 0.95))
_ = plt.title("Models' coefficients")

绘制边际对数似然

我们绘制两个模型的边际对数似然。

import numpy as np

ard_scores = -np.array(ard.scores_)
brr_scores = -np.array(brr.scores_)
plt.plot(ard_scores, color="navy", label="ARD")
plt.plot(brr_scores, color="red", label="BayesianRidge")
plt.ylabel("Log-likelihood")
plt.xlabel("Iterations")
plt.xlim(1, 30)
plt.legend()
_ = plt.title("Models log-likelihood")

生成合成数据集

我们创建一个目标，它是输入特征的非线性函数。添加遵循标准均匀分布的噪声。

from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures, StandardScaler

rng = np.random.RandomState(0)
n_samples = 110

## 对数据进行排序，以便稍后绘图更方便
X = np.sort(-10 * rng.rand(n_samples) + 10)
noise = rng.normal(0, 1, n_samples) * 1.35
y = np.sqrt(X) * np.sin(X) + noise
full_data = pd.DataFrame({"input_feature": X, "target": y})
X = X.reshape((-1, 1))

## 外推
X_plot = np.linspace(10, 10.4, 10)
y_plot = np.sqrt(X_plot) * np.sin(X_plot)
X_plot = np.concatenate((X, X_plot.reshape((-1, 1))))
y_plot = np.concatenate((y - noise, y_plot))

拟合回归器

我们尝试使用10次多项式来可能地过拟合，尽管贝叶斯线性模型会对多项式系数的大小进行正则化。由于ARDRegression和BayesianRidge默认fit_intercept=True，那么PolynomialFeatures不应引入额外的偏差特征。通过设置return_std=True，贝叶斯回归器会返回模型参数后验分布的标准差。

ard_poly = make_pipeline(
    PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
    StandardScaler(),
    ARDRegression(),
).fit(X, y)
brr_poly = make_pipeline(
    PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
    StandardScaler(),
    BayesianRidge(),
).fit(X, y)

y_ard, y_ard_std = ard_poly.predict(X_plot, return_std=True)
y_brr, y_brr_std = brr_poly.predict(X_plot, return_std=True)

绘制带有分数标准误差的多项式回归

误差线表示查询点预测高斯分布的一个标准差。请注意，在两个模型中使用默认参数时，ARD回归最能捕捉到真实情况，但进一步减小贝叶斯岭的lambda_init超参数可以减少其偏差。最后，由于多项式回归的固有局限性，两个模型在外推时都会失败。

ax = sns.scatterplot(
    data=full_data, x="input_feature", y="target", color="black", alpha=0.75
)
ax.plot(X_plot, y_plot, color="black", label="Ground Truth")
ax.plot(X_plot, y_brr, color="red", label="BayesianRidge with polynomial features")
ax.plot(X_plot, y_ard, color="navy", label="ARD with polynomial features")
ax.fill_between(
    X_plot.ravel(),
    y_ard - y_ard_std,
    y_ard + y_ard_std,
    color="navy",
    alpha=0.3,
)
ax.fill_between(
    X_plot.ravel(),
    y_brr - y_brr_std,
    y_brr + y_brr_std,
    color="red",
    alpha=0.3,
)
ax.legend()
_ = ax.set_title("Polynomial fit of a non-linear feature")

总结

本实验使用合成数据集比较了两种不同的贝叶斯回归器。实验的第一部分通过使用普通最小二乘法（OLS）模型作为基线，将模型的系数与真实系数进行比较。在最后一部分，实验使用多项式特征扩展来拟合X和y之间的非线性关系，绘制了ARD和贝叶斯岭回归的预测结果和不确定性。