ガウス過程回帰モデルをフィットさせる

はじめに

この実験では、ガウス過程回帰を使ってデータセットにモデルをフィットさせる方法を学びます。合成データセットを生成し、ガウス過程回帰を使ってそれにモデルをフィットさせます。scikit-learnライブラリを使ってガウス過程回帰を行います。

VMのヒント

VMの起動が完了したら、左上隅をクリックしてノートブックタブに切り替え、Jupyter Notebookを使って練習しましょう。

時々、Jupyter Notebookが読み込み終わるまで数秒待つ必要がある場合があります。Jupyter Notebookの制限により、操作の検証を自動化することはできません。

学習中に問題に遭遇した場合は、Labbyにお問い合わせください。セッション後にフィードバックを提供してください。すぐに問題を解決いたします。

Skills Graph

データセットの生成

合成データセットを生成します。真の生成過程は、f(x) = x sin(x) と定義されています。

import numpy as np

X = np.linspace(start=0, stop=10, num=1_000).reshape(-1, 1)
y = np.squeeze(X * np.sin(X))

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(X, y, label=r"$f(x) = x \sin(x)$", linestyle="dotted")
plt.legend()
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$f(x)$")
_ = plt.title("True generative process")

ノイズのないターゲット

このステップでは、ノイズを加えずに真の生成過程を使用します。ガウス過程回帰を学習するために、いくつかのサンプルのみを選択します。

rng = np.random.RandomState(1)
training_indices = rng.choice(np.arange(y.size), size=6, replace=False)
X_train, y_train = X[training_indices], y[training_indices]

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF

kernel = 1 * RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-2, 1e2))
gaussian_process = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, n_restarts_optimizer=9)
gaussian_process.fit(X_train, y_train)
gaussian_process.kernel_

予測と信頼区間

モデルをフィットさせた後、カーネルのハイパーパラメータが最適化されていることがわかります。ここでは、カーネルを使って完全なデータセットの平均予測を計算し、95%の信頼区間をプロットします。

mean_prediction, std_prediction = gaussian_process.predict(X, return_std=True)

plt.plot(X, y, label=r"$f(x) = x \sin(x)$", linestyle="dotted")
plt.scatter(X_train, y_train, label="Observations")
plt.plot(X, mean_prediction, label="Mean prediction")
plt.fill_between(
    X.ravel(),
    mean_prediction - 1.96 * std_prediction,
    mean_prediction + 1.96 * std_prediction,
    alpha=0.5,
    label=r"95% confidence interval",
)
plt.legend()
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$f(x)$")
_ = plt.title("Gaussian process regression on noise-free dataset")

ノイジーなターゲット

今回は、ターゲットに追加のノイズを加えて同様の実験を繰り返すことができます。これにより、ノイズがフィットされたモデルに与える影響を見ることができます。

noise_std = 0.75
y_train_noisy = y_train + rng.normal(loc=0.0, scale=noise_std, size=y_train.shape)

gaussian_process = GaussianProcessRegressor(
    kernel=kernel, alpha=noise_std**2, n_restarts_optimizer=9
)
gaussian_process.fit(X_train, y_train_noisy)
mean_prediction, std_prediction = gaussian_process.predict(X, return_std=True)

plt.plot(X, y, label=r"$f(x) = x \sin(x)$", linestyle="dotted")
plt.errorbar(
    X_train,
    y_train_noisy,
    noise_std,
    linestyle="None",
    color="tab:blue",
    marker=".",
    markersize=10,
    label="Observations",
)
plt.plot(X, mean_prediction, label="Mean prediction")
plt.fill_between(
    X.ravel(),
    mean_prediction - 1.96 * std_prediction,
    mean_prediction + 1.96 * std_prediction,
    color="tab:orange",
    alpha=0.5,
    label=r"95% confidence interval",
)
plt.legend()
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$f(x)$")
_ = plt.title("Gaussian process regression on a noisy dataset")

まとめ

この実験では、ガウス過程回帰を使ってデータセットにモデルをフィットさせる方法を学びました。合成データセットを生成し、ガウス過程回帰を使ってそれにモデルをフィットさせました。scikit-learnライブラリを使ってガウス過程回帰を行い、平均予測と95%の信頼区間をプロットしました。